如果函数 fx 是可导的奇函数，那么它的导函数一定是偶函数，这个结论是高等数学微分部分非常经典的奇偶函数求导性质，这个性质成立的核心依托是奇函数本身的定义加上导数极限定义，推导过程不需要额外附加复杂条件，前提必须保证 fx 在对称区间上可导，也就是导数存在，只要满足这个前提，就可以直接推出导函数满足偶函数定义，我们可以沿着导数定义式代入负变量，对极限式子做恒等变形，最后对照偶函数判定标准，就能验证导函数满足偶函数的判定要求，这个性质在求导计算 函数对称性分析 积分运算里面经常直接套用，能够省去大量重复推导的工作。

核心前提条件

项目 内容

原函数性质 fx 为奇函数

定义域要求 关于原点对称

必要前提 fx 在对称区间内可导

推导目标 证明导函数 f 撇 x 为偶函数

偶函数判定标准 f 撇负 x 等于 f 撇 x

详细推导步骤

第一步 回忆奇函数定义，若 fx 是奇函数，定义域关于原点对称，对定义域内任意 x 都满足 f 负 x 等于负 fx

第二步 写出导函数定义，f 撇 x 等于极限 h 趋近于 0 时 f (x+h) 减 f (x) 再除以 h

第三步 把负 x 代入导函数定义，写出 f 撇负 x 等于极限 h 趋近于 0 时 f (-x+h) 减 f (-x) 再除以 h

第四步 使用奇函数性质替换式子里面的 f (-x+h) 和 f (-x)，f (-x+h) 等于负 f (x-h)，f (-x) 等于负 f (x)

第五步 代入之后整理式子，负 f (x-h) 减负 f (x) 除以 h，变形之后变成 f (x) 减 f (x-h) 除以 h

第六步 做变量替换令 t 等于负 h，当 h 趋近于 0，t 同样趋近于 0，极限式子就转化成 f 撇 x 的标准极限形式，最后得到 f 撇负 x 等于 f 撇 x

第七步 对照偶函数定义，满足 f 撇负 x 等于 f 撇 x，所以 fx 的导数就是偶函数

补充拓展说明

这个定理是单向性质，也就是奇函数求导得到偶函数，反过来不能直接逆推，如果导函数是偶函数，原函数不一定是奇函数，原函数会多出一个常数项，只有当常数项等于 0 的时候原函数才是奇函数，这个反向误区是考试高频易错点，另外要注意如果奇函数在某一点不可导，那这个性质在该点就不适用，比如带尖点的奇函数，尖点位置导数不存在，就不能说整个导函数是偶函数。

【常见问题】

问题 1 fx 是奇函数则 fx 的导数是偶函数这个定理需要额外附加连续条件吗

回答 1 fx 是奇函数则 fx 的导数是偶函数，核心要求是 fx 可导，可导本身就自带连续，只要 fx 在对称区间可导，就可以推出 fx 的导数是偶函数，不需要单独再加连续这个额外条件。

问题 2 fx 是奇函数则 fx 的导数是偶函数可以反向逆推吗

回答 2 fx 是奇函数则 fx 的导数是偶函数属于单向结论，不能直接反向逆推，就算 fx 的导数是偶函数，原函数 fx 也不一定是奇函数，原函数会存在任意常数项干扰奇偶性。

问题 3 fx 是奇函数则 fx 的导数是偶函数遇到不可导点怎么办

回答 2 fx 是奇函数则 fx 的导数是偶函数这个结论，只在导数存在的区间成立，如果 fx 是奇函数但是存在尖点不可导，那么在不可导点就不能套用 fx 的导数是偶函数这个结论。

【免责申明】

本文属于高等数学知识点科普推导，内容仅用于学习参考，解题应用请结合题目给定定义域与可导条件，若教材表述存在版本差异，以任课教材和考试大纲为准。