【这个全微分方程的通解怎么求?】在微分方程的学习中，全微分方程是一个重要的类型。它具有特殊的结构，使得我们可以通过某种方式直接积分来找到通解。本文将总结如何求解全微分方程的通解，并以表格形式展示关键步骤与判断方法。
一、什么是全微分方程？
一个一阶微分方程
$$
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
$$
被称为全微分方程（或恰当方程），如果存在某个二元函数 $ F(x, y) $，使得
$$
dF = M(x, y)dx + N(x, y)dy
$$
即：
$$
\frac{\partial F}{\partial x} = M(x, y), \quad \frac{\partial F}{\partial y} = N(x, y)
$$
此时，方程的通解为
$$
F(x, y) = C
$$
其中 $ C $ 是任意常数。
二、判断是否为全微分方程
要判断一个方程是否为全微分方程，可以检查以下条件：
| 条件 | 判断标准 |
| 全微分条件 | $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ |
如果该等式成立，则方程是全微分方程；否则不是。
三、求解全微分方程的步骤
以下是求解全微分方程通解的具体步骤：
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 检查 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 是否成立 |
| 2 | 若成立，则说明是全微分方程，继续下一步 |
| 3 | 假设存在函数 $ F(x, y) $，满足 $\frac{\partial F}{\partial x} = M(x, y)$ |
| 4 | 对 $ x $ 积分，得到 $ F(x, y) = \int M(x, y) dx + h(y) $，其中 $ h(y) $ 是关于 $ y $ 的任意函数 |
| 5 | 对 $ F(x, y) $ 关于 $ y $ 求偏导，令其等于 $ N(x, y) $，从而解出 $ h(y) $ |
| 6 | 将 $ h(y) $ 代入 $ F(x, y) $ 中，得到完整的 $ F(x, y) $ |
| 7 | 最终通解为 $ F(x, y) = C $ |
四、示例解析
假设我们有方程：
$$
(2x + y)dx + (x + 2y)dy = 0
$$
- $ M(x, y) = 2x + y $
- $ N(x, y) = x + 2y $
判断是否为全微分方程：
$$
\frac{\partial M}{\partial y} = 1, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 1
$$
两者相等，因此是全微分方程。
求解过程：
- $ \frac{\partial F}{\partial x} = 2x + y \Rightarrow F(x, y) = x^2 + xy + h(y) $
- $ \frac{\partial F}{\partial y} = x + h'(y) = x + 2y \Rightarrow h'(y) = 2y \Rightarrow h(y) = y^2 + C $
最终通解为：
$$
x^2 + xy + y^2 = C
$$
五、总结
| 项目 | 内容 |
| 定义 | 形如 $ M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 $，且满足 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 的方程 |
| 判断方法 | 检查偏导是否相等 |
| 解法步骤 | 积分、求偏导、确定未知函数、写出通解 |
| 通解形式 | $ F(x, y) = C $，其中 $ F $ 是原函数 |
通过以上分析和步骤，我们可以系统地解决全微分方程的通解问题。掌握这些方法后，能够更高效地应对相关题目。
