在数学分析中，三角函数的导数是一个非常基础且重要的知识点。本文将详细探讨如何通过极限定义推导出$\sin x$的导数。
首先，根据导数的定义，函数$f(x)$在$x$处的导数可以表示为：
$$
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}.
$$
对于函数$f(x) = \sin x$，我们将其代入导数公式：
$$
\frac{d}{dx}(\sin x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}.
$$
利用三角恒等式$\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$，我们可以展开分子部分：
$$
\sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h.
$$
因此，分子变为：
$$
\sin(x+h) - \sin x = (\sin x \cos h + \cos x \sin h) - \sin x = \sin x (\cos h - 1) + \cos x \sin h.
$$
将这个结果代入导数公式后，得到：
$$
\frac{d}{dx}(\sin x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin x (\cos h - 1) + \cos x \sin h}{h}.
$$
接下来，我们将分母分配到每一项上：
$$
\frac{d}{dx}(\sin x) = \sin x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}.
$$
我们需要分别计算这两个极限值。
1. 计算$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h}$：
利用$\cos h = 1 - \frac{h^2}{2} + O(h^4)$（泰勒展开），当$h \to 0$时，$\cos h - 1 \approx -\frac{h^2}{2}$。因此：
$$
\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-\frac{h^2}{2}}{h} = \lim_{h \to 0} \left(-\frac{h}{2}\right) = 0.
$$
2. 计算$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}$：
同样利用$\sin h = h - \frac{h^3}{6} + O(h^5)$（泰勒展开），当$h \to 0$时，$\sin h \approx h$。因此：
$$
\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} = 1.
$$
将上述结果代入导数表达式中：
$$
\frac{d}{dx}(\sin x) = \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x.
$$
因此，$\sin x$的导数是$\cos x$。
总结来说，通过极限定义和三角函数的性质，我们成功推导出了$\sin x$的导数为$\cos x$。这一结论在微积分学中具有广泛的应用价值。
