【几何平均数的公式】在统计学和数学中，几何平均数是一种常用的平均值计算方法，尤其适用于数据之间存在乘法关系的情况。与算术平均数不同，几何平均数能够更准确地反映比例变化或增长率。本文将对几何平均数的公式进行总结，并通过表格形式展示其应用场景和计算方式。
一、几何平均数的定义
几何平均数（Geometric Mean）是指将一组正数相乘后，再开n次方（n为数据个数）所得的结果。它主要用于处理具有指数增长或比例变化的数据，例如投资回报率、人口增长率等。
二、几何平均数的公式
设有一组正数 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，则其几何平均数 $ G $ 的公式为：
$$
G = \sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n}
$$
或者写成：
$$
G = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}}
$$
其中：
- $ \prod $ 表示连乘符号；
- $ n $ 是数据的个数；
- $ x_i $ 是第i个数据点。
三、几何平均数的特点
| 特点 | 说明 |
| 只适用于正数 | 几何平均数不能用于包含零或负数的数据集 |
| 受极端值影响较小 | 相比于算术平均数，几何平均数对极大值和极小值的敏感度较低 |
| 常用于增长率计算 | 如年化收益率、人口增长等场景 |
| 适用于复利计算 | 在金融领域，几何平均数常用于计算复合增长率 |
四、几何平均数的应用场景
| 场景 | 应用说明 |
| 投资回报率 | 计算多期投资的平均收益率 |
| 人口增长 | 分析人口年增长率 |
| 经济指标 | 如GDP增长率、通货膨胀率等 |
| 生物学研究 | 如细胞分裂速度、生长速率等 |
五、几何平均数的计算示例
假设某公司连续三年的利润增长率为：5%、10%、15%，求这三年的平均增长率。
首先将增长率转换为倍数：1.05、1.10、1.15
计算几何平均数：
$$
G = \sqrt[3]{1.05 \times 1.10 \times 1.15} = \sqrt[3]{1.32825} \approx 1.10
$$
即平均增长率为 10%。
六、几何平均数与算术平均数的区别
| 比较项 | 几何平均数 | 算术平均数 |
| 计算方式 | 乘积开n次方 | 各数之和除以个数 |
| 适用范围 | 比例变化、增长率 | 一般数据集 |
| 对极端值敏感性 | 较低 | 较高 |
| 结果大小 | 通常小于等于算术平均数 | 通常大于等于几何平均数 |
七、总结
几何平均数是处理比例和增长率问题的重要工具，其公式简单但应用广泛。在实际数据分析中，选择合适的平均数类型至关重要。几何平均数因其对极端值的稳健性和对指数变化的适应性，成为许多领域不可或缺的统计指标。
附表：几何平均数公式及应用总结
| 项目 | 内容 |
| 公式 | $ G = \sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n} $ |
| 适用数据 | 正数、比例数据、增长率 |
| 特点 | 受极端值影响小、适用于复利计算 |
| 应用领域 | 金融、经济、生物学、统计分析 |
| 与算术平均数比较 | 通常较小、更适配非线性数据 |
