【齐次线性方程组有非零解例题】在学习线性代数的过程中，齐次线性方程组是一个重要的内容。齐次线性方程组的一般形式为：
$$
A\mathbf{x} = \mathbf{0}
$$
其中 $ A $ 是一个 $ m \times n $ 的矩阵，$ \mathbf{x} $ 是一个 $ n $ 维列向量，$ \mathbf{0} $ 是零向量。齐次方程组总是至少有一个解，即零解（全为零的解）。但若系数矩阵的秩小于未知数个数，则该方程组存在非零解。
下面通过几个典型例题，总结齐次线性方程组有非零解的条件及求解方法。
一、例题分析
例题1：
设齐次线性方程组为：
$$
\begin{cases}
x + y - z = 0 \\
2x + 2y - 2z = 0 \\
3x + 3y - 3z = 0
\end{cases}
$$
分析：
观察可知，第二个方程是第一个方程的两倍，第三个方程是第一个方程的三倍，因此三个方程之间是线性相关的。所以矩阵的秩为1，而未知数个数为3，因此方程组有非零解。
结论： 有非零解。
例题2：
设齐次线性方程组为：
$$
\begin{cases}
x + y = 0 \\
2x + 2y = 0
\end{cases}
$$
分析：
两个方程相同，说明矩阵的秩为1，未知数个数为2，因此方程组有非零解。
结论： 有非零解。
例题3：
设齐次线性方程组为：
$$
\begin{cases}
x + y + z = 0 \\
x - y + z = 0 \\
x + y - z = 0
\end{cases}
$$
分析：
构造增广矩阵并进行行变换：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1 \\
1 & 1 & -1
\end{bmatrix}
$$
通过消元后发现矩阵的秩为3，与未知数个数相同，因此只有零解。
结论： 无非零解。
二、判断齐次方程组是否有非零解的方法
| 方法 | 说明 |
| 矩阵秩 | 若系数矩阵的秩 $ r < n $（n 为未知数个数），则有非零解 |
| 行列式 | 当系数矩阵为方阵时，若其行列式为0，则有非零解 |
| 方程个数 | 若方程个数少于未知数个数，通常会有非零解 |
三、总结表格
| 例题编号 | 系数矩阵 | 秩 | 未知数个数 | 是否有非零解 | 说明 |
| 1 | $\begin{bmatrix}1&1&-1\\2&2&-2\\3&3&-3\end{bmatrix}$ | 1 | 3 | 是 | 矩阵秩小于未知数个数 |
| 2 | $\begin{bmatrix}1&1\\2&2\end{bmatrix}$ | 1 | 2 | 是 | 矩阵秩小于未知数个数 |
| 3 | $\begin{bmatrix}1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{bmatrix}$ | 3 | 3 | 否 | 矩阵秩等于未知数个数 |
通过以上例题和总结，我们可以更清晰地理解齐次线性方程组是否存在非零解的判断标准。在实际应用中，应结合矩阵的秩、行列式以及方程之间的相关性进行综合分析。
