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齐次线性方程组有非零解例题

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问题描述:

齐次线性方程组有非零解例题,蹲一个懂的人,求别让我等太久!

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2025-07-04 06:54:41

齐次线性方程组有非零解例题】在学习线性代数的过程中,齐次线性方程组是一个重要的内容。齐次线性方程组的一般形式为:

$$

A\mathbf{x} = \mathbf{0}

$$

其中 $ A $ 是一个 $ m \times n $ 的矩阵,$ \mathbf{x} $ 是一个 $ n $ 维列向量,$ \mathbf{0} $ 是零向量。齐次方程组总是至少有一个解,即零解(全为零的解)。但若系数矩阵的秩小于未知数个数,则该方程组存在非零解。

下面通过几个典型例题,总结齐次线性方程组有非零解的条件及求解方法。

一、例题分析

例题1:

设齐次线性方程组为:

$$

\begin{cases}

x + y - z = 0 \\

2x + 2y - 2z = 0 \\

3x + 3y - 3z = 0

\end{cases}

$$

分析:

观察可知,第二个方程是第一个方程的两倍,第三个方程是第一个方程的三倍,因此三个方程之间是线性相关的。所以矩阵的秩为1,而未知数个数为3,因此方程组有非零解。

结论: 有非零解。

例题2:

设齐次线性方程组为:

$$

\begin{cases}

x + y = 0 \\

2x + 2y = 0

\end{cases}

$$

分析:

两个方程相同,说明矩阵的秩为1,未知数个数为2,因此方程组有非零解。

结论: 有非零解。

例题3:

设齐次线性方程组为:

$$

\begin{cases}

x + y + z = 0 \\

x - y + z = 0 \\

x + y - z = 0

\end{cases}

$$

分析:

构造增广矩阵并进行行变换:

$$

\begin{bmatrix}

1 & 1 & 1 \\

1 & -1 & 1 \\

1 & 1 & -1

\end{bmatrix}

$$

通过消元后发现矩阵的秩为3,与未知数个数相同,因此只有零解。

结论: 无非零解。

二、判断齐次方程组是否有非零解的方法

方法 说明
矩阵秩 若系数矩阵的秩 $ r < n $(n 为未知数个数),则有非零解
行列式 当系数矩阵为方阵时,若其行列式为0,则有非零解
方程个数 若方程个数少于未知数个数,通常会有非零解

三、总结表格

例题编号 系数矩阵 未知数个数 是否有非零解 说明
1 $\begin{bmatrix}1&1&-1\\2&2&-2\\3&3&-3\end{bmatrix}$ 1 3 矩阵秩小于未知数个数
2 $\begin{bmatrix}1&1\\2&2\end{bmatrix}$ 1 2 矩阵秩小于未知数个数
3 $\begin{bmatrix}1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{bmatrix}$ 3 3 矩阵秩等于未知数个数

通过以上例题和总结,我们可以更清晰地理解齐次线性方程组是否存在非零解的判断标准。在实际应用中,应结合矩阵的秩、行列式以及方程之间的相关性进行综合分析。

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