在数学中，二次函数是一种常见的函数形式，其一般表达式为 \(y = ax^2 + bx + c\)（其中 \(a \neq 0\)）。为了更好地研究这种函数的性质，我们需要了解它的顶点坐标。顶点是抛物线上的最高点或最低点，它决定了函数图像的位置和方向。本文将详细推导出二次函数顶点坐标的公式。

首先，我们从标准形式 \(y = ax^2 + bx + c\) 出发，通过配方的方法来寻找顶点的坐标。

第一步：提取系数 \(a\)

为了便于后续计算，我们可以先将 \(x^2\) 和 \(x\) 的部分提取出来：

\[ y = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c \]

第二步：完成平方

接下来，我们将括号内的部分通过“配方法”转化为一个完全平方的形式。具体来说，对于 \(x^2 + \frac{b}{a}x\)，我们需要添加并减去一个适当的常数项 \((\frac{b}{2a})^2\)，使得括号内可以写成一个平方的形式：

\[ x^2 + \frac{b}{a}x = (x + \frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2 \]

因此，原函数可以改写为：

\[ y = a[(x + \frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2] + c \]

\[ y = a(x + \frac{b}{2a})^2 - a(\frac{b}{2a})^2 + c \]

第三步：整理表达式

进一步简化得到：

\[ y = a(x + \frac{b}{2a})^2 + (c - \frac{b^2}{4a}) \]

此时，函数已经化简为顶点形式：

\[ y = a(x - h)^2 + k \]

其中，\(h = -\frac{b}{2a}\)，\(k = c - \frac{b^2}{4a}\)。

第四步：确定顶点坐标

根据顶点形式 \(y = a(x - h)^2 + k\)，我们可以直接看出顶点的横坐标为 \(h\)，纵坐标为 \(k\)。因此，二次函数的顶点坐标为：

\[ (-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a}) \]

结论

通过上述推导，我们得到了二次函数顶点坐标的公式：

\[ \text{顶点坐标} = \left(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a}\right) \]

这个公式可以帮助我们快速确定任意二次函数的顶点位置，从而更深入地理解其图像特征。希望本篇推导能够帮助大家更好地掌握这一重要的数学知识！