在数学中，求解一个函数的原函数（即不定积分）是一项基础而重要的技能。本文将探讨函数 \( \sin^2x \) 的原函数，并通过推导过程展示其计算方法。

首先，我们回顾一下三角函数的基本公式。根据三角恒等式，我们可以将 \( \sin^2x \) 表达为：

\[

\sin^2x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}

\]

接下来，我们将此表达式代入积分中，求解其不定积分：

\[

\int \sin^2x \, dx = \int \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx

\]

将积分拆分为两部分：

\[

\int \sin^2x \, dx = \frac{1}{2} \int 1 \, dx - \frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx

\]

第一部分积分非常简单：

\[

\frac{1}{2} \int 1 \, dx = \frac{x}{2}

\]

第二部分积分需要应用换元法。设 \( u = 2x \)，则 \( du = 2dx \)，因此 \( dx = \frac{du}{2} \)。代入后得到：

\[

-\frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx = -\frac{1}{4} \int \cos(u) \, du

\]

我们知道 \( \cos(u) \) 的积分是 \( \sin(u) \)，所以：

\[

-\frac{1}{4} \int \cos(u) \, du = -\frac{1}{4} \sin(u) = -\frac{1}{4} \sin(2x)

\]

将两部分结果合并，最终得到：

\[

\int \sin^2x \, dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C

\]

其中 \( C \) 是积分常数。

总结来说，函数 \( \sin^2x \) 的原函数为：

\[

F(x) = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C

\]

这一结果不仅展示了积分技巧的应用，也体现了三角恒等式的重要性。希望本文能帮助读者更好地理解此类问题的解决方法。