在数学中，二次函数是一种常见的多项式函数，其表达形式通常为 \( f(x) = ax^2 + bx + c \)，其中 \( a \)、\( b \) 和 \( c \) 是常数，且 \( a \neq 0 \)。二次函数的图像是一条抛物线，而抛物线具有独特的对称性。
当 \( a < 0 \) 时，抛物线开口向下，此时函数存在一个最大值；而当 \( a > 0 \) 时，抛物线开口向上，函数则存在一个最小值。本文主要讨论的是当 \( a < 0 \) 的情况下，如何求解二次函数的最大值。
最大值公式的推导
对于二次函数 \( f(x) = ax^2 + bx + c \)，我们可以通过完成平方的方法将其改写为顶点形式：
\[
f(x) = a(x - h)^2 + k
\]
其中，顶点坐标为 \( (h, k) \)，且 \( h = -\frac{b}{2a} \)，\( k = f(h) \)。显然，顶点是抛物线的最高点或最低点。
因此，当 \( a < 0 \) 时，函数的最大值即为顶点对应的 \( y \)- 坐标 \( k \)，即：
\[
k = f(h) = f\left(-\frac{b}{2a}\right)
\]
将 \( x = -\frac{b}{2a} \) 代入原函数 \( f(x) = ax^2 + bx + c \)，可得：
\[
k = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c
\]
化简后得到：
\[
k = -\frac{b^2}{4a} + c
\]
因此，二次函数的最大值公式为：
\[
\text{最大值} = -\frac{b^2}{4a} + c
\]
实际应用举例
假设有一个二次函数 \( f(x) = -2x^2 + 8x - 5 \)，我们来计算它的最大值。
1. 确定系数：\( a = -2 \)，\( b = 8 \)，\( c = -5 \)。
2. 计算顶点横坐标 \( h \)：
\[
h = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-2)} = 2
\]
3. 将 \( h = 2 \) 代入函数求最大值：
\[
k = f(2) = -2(2)^2 + 8(2) - 5 = -8 + 16 - 5 = 3
\]
因此，该二次函数的最大值为 3。
总结
通过上述推导和实例分析可以看出，二次函数的最大值公式是基于其顶点性质得出的。当 \( a < 0 \) 时，最大值公式为：
\[
\boxed{\text{最大值} = -\frac{b^2}{4a} + c}
\]
掌握这一公式可以帮助我们快速解决与二次函数相关的问题，尤其是在实际应用中，如物理中的抛体运动或经济学中的收益分析等场景。
