【数论:欧拉函数的计算与性质(Mathematica)】欧拉函数（Euler's Totient Function），记为 φ(n)，是数论中一个重要的函数，用于计算小于等于 n 且与 n 互质的正整数的个数。在数学研究和计算机科学中，欧拉函数具有广泛的应用，例如在密码学、模运算和数论算法中。
本文将总结欧拉函数的基本定义、计算方法及其主要性质，并通过 Mathematica 进行验证与演示。
一、欧拉函数的定义
对于正整数 n，φ(n) 表示小于或等于 n 且与 n 互质的正整数的个数。即：
$$
\varphi(n) = \text{card}(\{k \in \mathbb{N}^+ \mid 1 \leq k \leq n, \gcd(k, n) = 1\})
$$
二、欧拉函数的计算方法
1. 公式法（基于素因数分解）
若 n 的素因数分解为：
$$
n = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k}
$$
则欧拉函数的公式为：
$$
\varphi(n) = n \left(1 - \frac{1}{p_1}\right)\left(1 - \frac{1}{p_2}\right)\cdots\left(1 - \frac{1}{p_k}\right)
$$
2. Mathematica 中的实现
在 Mathematica 中，可以直接使用内置函数 `EulerPhi[n]` 来计算 φ(n)。例如：
```mathematica
EulerPhi[12
```
输出结果为：
```
4
```
因为与 12 互质的数有 1, 5, 7, 11。
三、欧拉函数的主要性质
| 性质 | 描述 |
| 1 | φ(1) = 1 |
| 2 | 若 p 是素数，则 φ(p) = p - 1 |
| 3 | 若 m 和 n 互质，则 φ(mn) = φ(m)φ(n) |
| 4 | 对于任意 n ≥ 1，φ(n) ≤ n - 1 |
| 5 | 当 n > 1 时，φ(n) 是偶数 |
| 6 | 若 n 是素数幂，即 n = p^k，则 φ(n) = p^k - p^{k-1} = p^{k-1}(p - 1) |
四、典型数值示例（含 Mathematica 计算）
| n | φ(n)（手动计算） | φ(n)（Mathematica） |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 1 |
| 3 | 2 | 2 |
| 4 | 2 | 2 |
| 5 | 4 | 4 |
| 6 | 2 | 2 |
| 7 | 6 | 6 |
| 8 | 4 | 4 |
| 9 | 6 | 6 |
| 10 | 4 | 4 |
| 12 | 4 | 4 |
| 15 | 8 | 8 |
| 16 | 8 | 8 |
| 17 | 16 | 16 |
| 20 | 8 | 8 |
五、总结
欧拉函数 φ(n) 是数论中的核心概念之一，具有丰富的数学性质和实际应用价值。通过公式法可以手工计算其值，而 Mathematica 提供了高效的计算工具，使得大规模计算变得简单便捷。
掌握欧拉函数的计算方式与性质，有助于深入理解数论中的互质关系与模运算规律，也为后续学习如 RSA 加密等现代密码学内容打下坚实基础。
