【超几何分布的期望和方差公式?】在概率论与数理统计中，超几何分布是一种离散概率分布，用于描述在不放回抽样中，成功次数的概率分布。它常用于从有限总体中抽取样本时，计算特定事件发生的概率。
超几何分布适用于以下情况：从一个包含两种类型元素的总体中，随机抽取若干个样本，且不放回地进行抽样。例如，在一批产品中抽取若干件，其中一部分是正品，另一部分是次品，那么抽取过程中出现正品的数量就服从超几何分布。
一、超几何分布的基本概念
设总体中有 $ N $ 个元素，其中 $ K $ 个是“成功”元素（如正品），其余 $ N - K $ 个为“失败”元素（如次品）。从总体中随机抽取 $ n $ 个样本，不放回，那么成功次数 $ X $ 的概率分布称为超几何分布，记作：
$$
X \sim \text{Hypergeometric}(N, K, n)
$$
其概率质量函数为：
$$
P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}
$$
其中 $ k = \max(0, n - (N - K)), \ldots, \min(n, K) $
二、超几何分布的期望和方差
超几何分布的期望和方差是衡量其集中趋势和离散程度的重要指标。以下是其数学表达式：
| 项目 | 公式 | 说明 |
| 期望（均值） | $ E(X) = n \cdot \frac{K}{N} $ | 表示在 $ n $ 次抽样中，平均能抽到的成功次数 |
| 方差 | $ \text{Var}(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1} $ | 表示成功次数的波动程度，比二项分布的方差小，因不放回抽样 |
三、对比与理解
超几何分布与二项分布有相似之处，但也有显著区别：
- 二项分布：假设每次抽样都是独立的，即有放回抽样；
- 超几何分布：每次抽样是不放回的，因此样本之间存在依赖关系。
由于不放回抽样的影响，超几何分布的方差会小于对应的二项分布方差，这个差异体现在公式中的因子 $ \frac{N - n}{N - 1} $，称为“有限总体校正因子”。
四、实际应用举例
假设某工厂有 100 件产品，其中 20 件是次品。从中随机抽取 10 件，不放回。问这 10 件中次品数量的期望和方差是多少？
- $ N = 100 $，$ K = 20 $，$ n = 10 $
- 期望：$ E(X) = 10 \cdot \frac{20}{100} = 2 $
- 方差：$ \text{Var}(X) = 10 \cdot \frac{20}{100} \cdot \left(1 - \frac{20}{100}\right) \cdot \frac{100 - 10}{100 - 1} \approx 1.459 $
五、总结
超几何分布是描述不放回抽样中成功次数的分布模型，其期望和方差公式如下：
- 期望：$ E(X) = n \cdot \frac{K}{N} $
- 方差：$ \text{Var}(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1} $
通过这些公式，可以对实际问题进行定量分析，帮助我们更好地理解和预测随机事件的发生规律。
