在概率论与数理统计中，正态分布是一种非常重要的连续型随机变量的概率分布形式。它以其独特的钟形曲线而闻名，广泛应用于自然科学、社会科学以及工程领域等众多学科之中。

正态分布的基本概念

正态分布通常记作 \(N(\mu, \sigma^2)\)，其中：

- \(\mu\) 表示分布的均值（期望值），是曲线中心的位置；

- \(\sigma^2\) 是分布的方差，反映数据围绕均值分散的程度，\(\sigma\) 则为标准差。

正态分布的概率密度函数可以表示为：

\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\]

这里，\(x\) 代表随机变量可能取到的具体数值。

正态分布的期望值

对于一个服从正态分布 \(N(\mu, \sigma^2)\) 的随机变量 \(X\) 来说，其数学期望 \(E(X)\) 等于该分布的参数 \(\mu\)。也就是说，在正态分布中，均值不仅描述了分布中心的位置，同时也是随机变量的平均值。

因此，当我们讨论正态分布时，可以直接将 \(\mu\) 视为其期望值。

正态分布的方差

同样地，正态分布的方差 \(Var(X)\) 等于分布的参数 \(\sigma^2\)。这意味着，方差反映了数据点相对于均值的离散程度。方差越大，则数据越分散；反之，则数据越集中。

需要注意的是，标准差 \(\sigma\) 是方差的平方根，常用来衡量数据点与均值之间的典型距离。

应用实例

假设某大学入学考试的成绩符合正态分布 \(N(75, 10^2)\)，即平均分为 75 分，标准差为 10 分。根据上述性质可知：

- 考试成绩的期望值为 75 分；

- 成绩的方差为 100。

这表明大多数考生的成绩会集中在 65 至 85 分之间（约 68% 的数据落在均值加减一个标准差范围内）。

总之，理解正态分布的期望和方差有助于我们更好地分析和预测实际问题中的各种现象。无论是科学研究还是日常决策，掌握这一知识都是非常有用的。