【分数如何求导】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。而“分数如何求导”通常指的是对分式函数进行求导。分式函数的形式为 $ \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 是两个关于 $ x $ 的函数。对于这类函数的求导，我们通常使用商数法则（Quotient Rule）。
一、基本概念
- 分式函数：形如 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $ 的函数。
- 导数：表示函数在某一点的变化率，即 $ f'(x) $。
- 商数法则：用于求分式函数的导数。
二、商数法则公式
若 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，则其导数为：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
三、步骤解析
1. 识别分子和分母：确定 $ u(x) $ 和 $ v(x) $。
2. 分别求导：计算 $ u'(x) $ 和 $ v'(x) $。
3. 代入公式：将各部分代入商数法则公式。
4. 化简表达式：整理结果，得到最终的导数表达式。
四、示例说明
| 分式函数 | 分子 $ u(x) $ | 分母 $ v(x) $ | 分子导数 $ u'(x) $ | 分母导数 $ v'(x) $ | 导数 $ f'(x) $ |
| $ \frac{x^2}{x+1} $ | $ x^2 $ | $ x+1 $ | $ 2x $ | $ 1 $ | $ \frac{2x(x+1) - x^2(1)}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} $ |
| $ \frac{\sin x}{\cos x} $ | $ \sin x $ | $ \cos x $ | $ \cos x $ | $ -\sin x $ | $ \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} $ |
| $ \frac{e^x}{x^3} $ | $ e^x $ | $ x^3 $ | $ e^x $ | $ 3x^2 $ | $ \frac{e^x \cdot x^3 - e^x \cdot 3x^2}{x^6} = \frac{e^x(x^3 - 3x^2)}{x^6} = \frac{e^x(x - 3)}{x^4} $ |
五、注意事项
- 若分母为常数，可以直接使用常数除法法则，即 $ \frac{d}{dx} \left( \frac{u(x)}{c} \right) = \frac{u'(x)}{c} $。
- 当分母为0时，函数无定义，因此导数也不存在。
- 在实际应用中，先简化分式可能有助于更简便地求导。
六、总结
| 项目 | 内容 |
| 求导对象 | 分式函数 $ \frac{u(x)}{v(x)} $ |
| 核心方法 | 商数法则 |
| 公式 | $ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} $ |
| 注意事项 | 分母不能为零；可先化简再求导 |
通过掌握商数法则，可以高效地处理各类分式函数的求导问题。在实际学习过程中，建议多做练习，以加深理解并提高计算准确性。
