在几何学中，切割线定理是一个重要的基本原理，它描述了圆与直线相交时所形成的比例关系。这个定理不仅在数学领域有广泛应用，而且在物理学和工程学中也有重要价值。本文将从定义出发，逐步推导出切割线定理，并通过严谨的逻辑论证来证明其正确性。

首先，我们定义切割线定理的核心概念。设有一圆O及其一条外接切割线AB，该线段与圆分别交于点C和D。根据切割线定理，有以下关系成立：

\[ AC \cdot BD = AD \cdot BC \]

为了验证这一关系，我们需要借助一些基础几何知识。首先，连接圆心O与点C、D，构成两条半径OC和OD。由于OC=OD（均为圆的半径），三角形COD为等腰三角形。接下来，我们利用相似三角形的性质进行推导。

考虑三角形ACO和BDO，这两个三角形具有共同角∠COA=∠DOB，且它们各自的另一组对应角均为直角（因为OC⊥AC，OD⊥BD）。因此，这两个三角形是相似的。根据相似三角形的比例关系，我们可以写出：

\[ \frac{AC}{AO} = \frac{BD}{BO} \]

进一步地，注意到AO=BO（均为圆的直径的一半），于是上式可以简化为：

\[ AC \cdot BD = AO^2 \]

同理，对于三角形ADO和BCO，同样可以得到：

\[ AD \cdot BC = AO^2 \]

由此，我们得到了切割线定理的核心表达式：

\[ AC \cdot BD = AD \cdot BC \]

综上所述，我们已经通过严格的几何推理证明了切割线定理。这一结果表明，在任何情况下，当一条直线切割一个圆时，所产生的两段线段之间的乘积总是相等的。切割线定理的应用范围非常广泛，特别是在解决涉及圆周上的点以及相关的长度问题时，它提供了一种简单而有效的方法。

总之，切割线定理不仅是几何学中的一个基本定理，也是理解和应用几何知识的重要工具。通过对它的深入研究和灵活运用，我们可以更好地掌握几何图形的内在规律，从而为更复杂的数学问题打下坚实的基础。